Por qué el 142857 es un número mágico que fascina a los matemáticos desde hace siglos

Uno de los trucos que cualquiera de nosotros puede hacer empieza pidiéndole a quien quieras maravillar que tome la calculadora del teléfono y escriba 10101.

Luego, sin mirar, dile que lo multiplica por cualquier número del 1 al 6, lo divide por 7 y lo multiplica por 99.

Con absoluta confianza, declara que el resultado contiene exactamente los dígitos 1, 2, 4, 5, 7 y 8.

Pero, ¿qué lo hace tan peculiar?

Para empezar a descubrir lo asombroso del 142857 vale la pena multiplicarlo.

No te preocupes: de eso nos encargamos nosotros, tú sólo fíjate en el resultado.

¿Notas que todos los resultados contienen los mismos dígitos, sólo que en diferente orden?

Nuestro número está compuesto por 6 dígitos, y al multiplicarlo por cada uno de los números del 1 al 6, obtenemos todas las rotaciones posibles de esas seis cifras.

Esa propiedad inusual lo convierte, en términos matemáticos, en un número cíclico: un número de norte dígitos que, al multiplicarse por cualquiera de los enteros del 1 al norteproduce como resultado una rotación de sus propios dígitos en el mismo orden circular.

Pero volvamos a observar las multiplicaciones, pues hay más peculiaridades.

Por ejemplo, cuando multiplicamos 142857 por 3, el resultado es 428571.

Es como si los números estuvieran unidos por un hilo circular invisible: si cortas ese hilo en cualquier lugar, el resultado sigue el patrón en el sentido de las agujas de un reloj.

En este caso, es como si hubiéramos cortado ese hilo entre los números 1 y 4, pero los que le siguen a ese 4 mantienen el mismo orden, hasta completar el círculo.

Eso ocurre con todos: al multiplicarlo por 6, el resultado empieza con 8 y continúa con lo que se encuentra al girar: 5, 7, 1, 4 y 2.

Pero, ¿qué pasa si cruzas el umbral y lo multiplica 142857 por 7?

Si multiplicamos 142857 por 7, ocurre algo asombroso: el resultado es 999999.

Es como si, después de seis rotaciones mágicas, el número quisiera seguir divirtiéndonos.

Ya que estamos con los nueves, podemos hasta jugar con sus partes:

¿Dejámos convenientemente por fuera 1+4+2+8+5+7 porque da 27? Pues sí (sólo que si somos fieles al patrón de dar resultados con el mismo número de dígitos que la suma, 2+7=9).

Otra curiosidad es que si insertas un 9 en el centro del número, de manera que quede 142 9 857, al multiplicarlo por cualquier número del 1 al 6, el producto conserva la naturaleza cíclica, manteniendo siempre un 9 en el centro.

Volviendo a 142857 × 7, el resultado no es casual: está directamente relacionado con el hecho de que 142857 es el período decimal de 1/7, y esa relación explica por qué sus dígitos giran con tanta armonía y por qué su carrusel funciona tan impecablemente.

Si divide 1 entre 7, obtendrás:

1 ÷ 7 = 0,142857142857142857…

Los seis dígitos (142857) se repiten una y otra vez, indefinidamente. Ese bloque repetitivo es lo que en matemáticas se llama el período de la fracción decimal.

Ahora viene la clave: cuando divide 2, 3, 4, 5 o 6 entre 7, la secuencia 142857 reaparece siempre, pero comenzando en un punto distinto del ciclo.

Y luego, el ciclo se cierra:

Así que, el 999999 que surgió cuando multiplicamos 142857 por 7 no es casual: es el eco de ese 1, que en lenguaje matemático también se puede escribir como 0,999999…

Si quieres verlo en un terreno más cotidiano, divide el número de los días del año por el de los días de la semana.

Ahí está nuestro número, precedido por 52, que son las semanas que hay en el año.

Ese 0,142857 añadido que equivale a 1 día.

Efectivamente, cada año no bisiesto “avanza” el calendario un día de la semana, por ejemplo: si un año empieza en lunes, el siguiente empezará en martes.

Si quieres ver esa relación entre el 7 y el 142857 al revés, aquí está:

1 ÷ 142857 = 0,000007000007…

¿Se acabará el juego si nos pasamos del 7?

A primera vista, da la impresión de que sí, pero si tomamos el resultado, apartamos el primer dígito y lo sumamos, obtenemos:

1 + 142856 = 142857… el número original, comenzando por el dígito más pequeño.

Puede parecer forzado, pero resulta que, si seguimos haciendo lo mismo, aparece sin cesar el número cíclico, comenzando por sus dígitos en orden ascendente (1, 2, 4, 5, 7, 8):

Y así sigue, hasta llegar a…

Algo similar ocurre al multiplicar por 21 (2 999 997 → 2 + 999 997 = 999 999), 28, 35… En fin, ya habrás dilucido el patrón: todos son múltiplos de 7.

Los matemáticos recreativos han ido más lejos, para ver si pueden regresar al origen.

142857 x 142857 = 20408122449

Marcando 6 dígitos (norte) desde la derecha, y sumando lo que queda…

142857 x 6.430.514.712.336 = 918.644.040.260.183.952

Y, usando el mismo método de tomar de a 6 dígitos desde la derecha…

183952 + 040260 + 918644 = 1142856.

Como se pasa de 6 dígitos, sería 1 + 142856 = 142857.

En fin, por grande o enrevesada que sea la trayectoria, 142857 siempre encuentra el camino de regreso.

Aunque el 7 y el 142857 son especiales, no son únicos.

Se han encontrado muchos más, aunque no se sabe cuántos habrá.

Lo que sí se sabe es que, entre todos, 142857 se distingue no sólo por ser el primero con el que te topas sino también por ser el único que no empieza con cero.

El siguiente número cíclico que hallas es 0588235294117647, que es el resultado de dividir 1 entre 17.

Sus 16 dígitos se comportan de manera similar: al multiplicarlos por cualquiera de los números del 1 al 16, el producto es siempre una rotación cíclica de esos mismos dígitos, sólo que el carrusel es más largo.

Y cuando lo multiplica por 17, el resultado es 99999999999999999, es decir, 16 nueves, así como para 142857 x 7 es 6 nueves.

Fíjate en algo que los caracteriza: la cantidad de dígitos que componen un número cíclico es siempre uno menos que la cifra que lo genera. El generado por el 7 tiene 6 dígitos; el de 17 tiene 16 dígitos.

Otra particularidad fundamental salta a la vista al mirar los números menores de 100 que generan cíclicos: 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61 y 97.

Aunque no todos los números primos producen un cíclico, todos los números cíclicos nacen de un primo.

Para tener el don de creación de cíclicos, el número primo debe cumplir una propiedad especial: al dividir 1 entre él, se debe obtener una secuencia repetitiva de dígitos cuya longitud es, como observamos, exactamente uno menos que su valor.

Gracias a eso, los dígitos pueden girar en un carrusel perfecto, sin perder ninguno ni repetirse antes de tiempo. Ese es el secreto que garantiza que cada dígito tenga su lugar y que el ciclo nunca se rompa.

Hasta hoy, los números cíclicos no tienen aplicaciones prácticas en ingeniería, finanzas o ciencia aplicada, pero sí han sido útiles en teoría de números, criptografía teórica y codificación.

Y, por supuesto, también han servido como herramienta educativa y recreativa, perfecta para explorar patrones numéricos y despertar la curiosidad matemática.

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